Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang barisan dan deret geometri. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai sumber termasuk soal UN maupun SBMPTN. Soal juga dapat diunduh melalui tautan berikut Download PDF, 189 KB. Barisan dan Deret Geometri Suku ke-$n$ suatu barisan geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ adalah $$\boxed{\text{U}_n = ar^{n-1}}$$Jumlah $n$ suku pertama deret geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ adalah $$\boxed{\text{S}_n = \dfrac{ar^n-1}{r-1}}$$ Baca Juga Soal dan Pembahasan- Barisan dan Deret Aritmetika Baca Juga Soal dan Pembahasan- Soal Cerita Aplikasi Barisan dan Deret Geometri Today Quote Bad people may come to you. They want to see everything wrong with you because there are nothing right in them. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Di antara rumus barisan berikut ini, yang merupakan barisan geometri adalah $\cdots \cdot$ A. $\text{U}_n = 4^n-5$ B. $\text{U}_n = 2^n \cdot n^{-2}$ C. $\text{U}_n = 2n^3-1$ D. $\text{U}_n = n^3 \cdot 2^{-n}$ E. $\text{U}_n = 2^{n+1} \cdot 3^{-n}$ Pembahasan Barisan geometri memiliki rumus umum $\text{U}_n = ar^{n-1}$. Perhatikan bahwa rumus barisan geometri hanya terdiri dari $1$ suku tidak ada penjumlahan dan pengurangan. Opsi A $\text{U}_n = 4^n-5$ Rumus barisan tersebut memiliki $2$ suku ada pengurangan sehingga jelas bukan barisan geometri. Opsi B $\text{U}_n = 2^n \cdot n^{-2}$ Rumus barisan tersebut bukan termasuk barisan geometri karena variabel $n$ muncul dengan posisi yang berbeda, yaitu sebagai pangkat dan basis. Opsi C $\text{U}_n = 2n^3-1$ Rumus barisan tersebut memiliki $2$ suku ada pengurangan sehingga jelas bukan barisan geometri. Opsi D $\text{U}_n = n^3 \cdot 2^{-n}$ Rumus barisan tersebut bukan termasuk barisan geometri karena variabel $n$ muncul dengan posisi yang berbeda, yaitu sebagai pangkat dan basis. Opsi E $\text{U}_n = 2^{n+1} \cdot 3^{-n}$ Perhatikan bahwa rumus barisan di atas dapat ditulis menjadi $\text{U}_n = 2^{n} \cdot 2^1 \cdot \dfrac{1}{3^n} = 2\left\dfrac23\right^n.$ Bentuk rumus terakhir menunjukkan bahwa ini adalah barisan geometri dengan suku pertama $a = 2$ dan rasio $r = \dfrac23$. Jawaban E [collapse] Soal Nomor 2 Diketahui barisan geometri dengan suku pertama adalah $24$ dan suku ke-$3$ adalah $\dfrac{8}{3}$. Suku ke-$5$ barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{8}{3}$ C. $\dfrac{8}{18}$ E. $\dfrac{8}{36}$ B. $\dfrac{8}{9}$ D. $\dfrac{8}{27}$ Pembahasan Diketahui $a = 24$ dan $\text{U}_3 = \dfrac{8}{3}$. Langkah pertama adalah menentukan rasio barisan geometri ini terlebih dahulu. $\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_3 & = \dfrac{8}{3} = 24r^{3-1} \\ \dfrac{8}{3} & = 24r^2 \\ r^2 & = \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{1}{24} \\ r^2 & = \dfrac{1}{9} \\ r & = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$ Dengan demikian, didapat $\begin{aligned} \text{U}_5 & = ar^4 \\ & = 24\left\dfrac{1}{3}\right^4 \\ & = 24 \cdot \dfrac{1}{81} = \dfrac{8}{27}. \end{aligned}$ Jadi, suku ke-$6$ barisan geometri itu adalah $\boxed{\dfrac{8}{27}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 3 Suku pertama dari barisan geometri adalah $\dfrac{5}{2}$ dan suku ke-$4$ adalah $20$. Besar suku ke-$6$ dari barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $80$ C. $25$ E. $-80$ B. $50$ D. $-25$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \text{U}_1 & = a = \dfrac{5}{2} \\ \text{U}_4 & = 20 \end{aligned}$ Langkah pertama adalah mencari rasio barisan geometri ini. Perhatikan bahwa $\begin{aligned} \text{U}_4 & = 20 \\ ar^3 & = 20 \\ \dfrac{5}{2}r^3 & = 20 \\ r^3 & = 20 \times \dfrac{2}{5} \\ r^3 & = 8 \\ r & = \sqrt[3]{8} = 2. \end{aligned}$ Selanjutnya, carilah suku ke-$6$. $\text{U}_6 = ar^5 = \dfrac{5}{2} \times 2^5 = 80$ Jadi, suku ke-$6$ barisan tersebut adalah $\boxed{80}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui barisan geometri dengan suku ke-$5 = 162$ dan suku ke-$2 =-6$. Rasio barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $-3$ C. $-\dfrac{1}{3}$ E. $3$ B. $-2$ D. $\dfrac{1}{2}$ Pembahasan Diketahui $\text{U}_5 = 162$ dan $\text{U}_2 =-6$. Dengan melakukan perbandingan antarsuku, diperoleh $\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_5}{\text{U}_2} & = \dfrac{162}{-6} \\ \dfrac{\cancel{a}r^4}{\cancel{a}r} & =-27 \\ r^3 & =-27 \\ r & =-3. \end{aligned}$ Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah $\boxed{-3}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 5 Suatu barisan geometri dengan suku pertama $16$ dan $\text{U}_4 = 2$. Jumlah $6$ suku pertama barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $31$ C. $32$ E. $64$ B. $31,5$ D. $63$ Pembahasan Diketahui $a = 16$ dan $\text{U}_4 = 2$. Langkah pertama adalah menentukan rasionya terlebih dahulu. $\begin{aligned} \text{U}_4 & = 2 \\ ar^3 & = 2 \\ 16r^3 & = 2 \\ r^3 & = \dfrac{1}{8} \\ r & = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$ Dengan menggunakan rumus jumlah $n$ suku pertama barisan geometri $\boxed{S_n = \dfrac{a1-r^n}{1-r}}$ diperoleh $\begin{aligned} S_6 & = \dfrac{16\left1-\left\dfrac{1}{2}\right^6 \right}{1- \dfrac{1}{2}} \\ & = \dfrac{16\left1-\dfrac{1}{64}\right}{\dfrac{1}{2}} \\ & = 16 \cdot \dfrac{63}{64} \cdot \dfrac{2}{1} \\ & = \dfrac{63}{4} \cdot 2 = 31,5. \end{aligned}$ Jadi, jumlah $6$ suku pertama barisan geometri tersebut adalah $\boxed{31,5}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 6 Jika $2x-5, x-4$, $-3x+10$ merupakan tiga suku pertama barisan geometri, maka nilai $x$ yang bulat adalah $\cdots \cdot$ A. $3$ C. $9$ E. $13$ B. $7$ D. $10$ Pembahasan Dalam barisan geometri, berlaku $\boxed{\text{U}_2^2 = \text{U}_1 \cdot \text{U}_3}$ Dengan demikian, diperoleh $$\begin{aligned} x- 4^2 & = 2x-5-3x+10 \\ x^2-8x+16 & =-6x^2 + 35x-50 \\ 7x^2-43x + 66 & = 0 \\ 7x-22x-3 & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $x = \dfrac{22}{7}$ atau $x = 3$. Karena nilai $x$ yang dimaksud berupa bilangan bulat, maka nilai $x$ yang diambil adalah $\boxed{3}$ Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan- Aplikasi Soal Cerita Barisan dan Deret Aritmetika Soal Nomor 7 Jika $\text{U}_1,\text{U}_2, \text{U}_3,\cdots$ adalah barisan geometri yang memenuhi $\text{U}_3-\text{U}_6 = x$ dan $\text{U}_2-\text{U}_4 = y$, serta $r$ merupakan rasio barisan geometri tersebut, maka $\dfrac{x} {y} = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{r^3-r^2-r} {r-1}$ D. $\dfrac{r^3+r^2-r} {r-1}$ B. $\dfrac{r^3-r^2+r} {r-1}$ E. $\dfrac{r^3-r^2+r} {r+1}$ C. $\dfrac{r^3+r^2+r} {r+1}$ Pembahasan Dalam barisan geometri, rumus suku ke-$n$ dinyatakan oleh $\text{U}_n = ar^{n-1}$ di mana $a$ sebagai suku pertama. Dengan demikian, $\begin{aligned} \dfrac{x} {y} & = \dfrac{\text{U}_3-\text{U}_6}{\text{U}_2- \text{U}_4} \\ & = \dfrac{ar^2-ar^5}{ar-ar^3} \\ & = \dfrac{\cancel{ar} r- r^4}{\cancel{ar} 1-r^2} \\ & = \dfrac{r-r^4}{1-r^2} \\ & = \dfrac{\cancel{1- r} r+r^2+r^3} {\cancel{1-r}1+r} \\ & = \dfrac{r+r^2+r^3}{1+r}. \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{x} {y} = \dfrac{r^3+r^2+r}{r+1}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 8 Suku ke-$n$ deret geometri adalah $\text{U}_n$. Jika $\dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} = 3$ dan $\text{U}_2 \cdot \text{U}_8 = \dfrac13$, maka nilai $\text{U}_{10} = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{1}{27}$ D. $\dfrac{\sqrt{3}} {9}$ B. $\dfrac19$ E. $\dfrac13$ C. $\dfrac{\sqrt{3}} {27}$ Pembahasan Diketahui $\dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} = 3$ sehingga kita peroleh $\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} & = 3 \\ \dfrac{\cancel{a} r^5}{\cancel{a}r^7} & = 3 \\ r^{-2} & = 3 \\ r^2 & = \dfrac13 \\ r^2^4 & = \left\dfrac13\right^4 \\ r^8 & = \dfrac{1}{81}. \end{aligned}$ Diketahui juga bahwa $\text{U}_2 \cdot \text{U}_8 = \dfrac13$ sehingga kita peroleh $\begin{aligned} \text{U}_2 \cdot \text{U}_8 & = \dfrac13 \\ ar ar^7 & = \dfrac13 \\ a^2r^8 & = \dfrac13 \\ \text{Substitusi}~r^8 & = \dfrac{1}{81} \\ a^2\left\dfrac{1}{81}\right & = \dfrac13 \\ a^2 & = \dfrac13 \cdot 81 \\ a^2 & = 27 \\ a & = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}. \end{aligned}$ Karena $r^2 = \dfrac13$, maka $r = \sqrt{\dfrac13} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$. Dengan demikian, $\begin{aligned} U_{10} & = ar^9 = ar^8 \cdot r \\ & = 3\sqrt{3} \left\dfrac{1}{81}\right \left\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\right = \dfrac{1}{27}. \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\text{U}_{10} = \dfrac{1}{27}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 9 Pada suatu barisan geometri naik dengan rasio positif, diketahui $\text{U}_6- \text{U}_4 = 4$ dan $\text{U}_4- \text{U}_3 = \dfrac23$. Nilai dari $\text{U}_5 = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{16}{3}$ C. $\dfrac43$ E. $\dfrac13$ B. $\dfrac83$ D. $\dfrac23$ Pembahasan Diketahui bahwa $\text{U}_6- \text{U}_4 = 4$ sehingga kita peroleh $\begin{aligned} \text{U}_6-\text{U}_4 & = 4 \\ ar^5- ar^3 & = 4 \\ ar^2r^3-r & = 4 \\ ar^2 & = \dfrac{4}{r^3-r}. \end{aligned}$ Diketahui bahwa $\text{U}_4-\text{U}_3 = \dfrac23$ sehingga kita peroleh $\begin{aligned} \text{U}_4-\text{U}_3 & = \dfrac23 \\ ar^3-ar^2 & = \dfrac23 \\ ar^2r-1 & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{r^3-r} \cdot r-1 & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{\cancel{r-1}r^2+r} \cdot \cancel{r-1} & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{r^2+r} & = \dfrac23 \\ r^2 + r & = 4 \cdot \dfrac32 \\ r^2+r & = 6 \\ r^2+r-6 & = 0 \\ r + 3r-2 & = 0. \end{aligned}$ Diperoleh $r =-3$ atau $r = 2$. Karena rasionya bernilai positif, maka diambil $r = 2$. Untuk itu, $\begin{aligned} \text{U}_6-\text{U}_4 & = 4 \\ ar^5-ar^3 & = 4 \\ ar^5-r^3 & = 4 \\ a & = \dfrac{4}{r^5-r^3} \\ \text{Substitusi}~r & = 2 \\ a & = \dfrac{4}{2^5-2^3} = \dfrac{4}{24} = \dfrac{1}{6}. \end{aligned}$ Dengan demikian, $\boxed{ \text{U}_5 = ar^4 = \dfrac162^4 = \dfrac83}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan- Deret Geometri Tak Hingga Soal Nomor 10 Suku ke-$n$ suatu barisan geometri dirumuskan oleh $\text{U}_n = 4^n$. Jumlah $n$ suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{1}{3}4^{n+1}-4$ D. $\dfrac{1}{3}4^{n+1}-n$ B. $\dfrac{1}{3}4^{n}-4$ E. $\dfrac{1}{3}4^{n-1} + 4$ C. $\dfrac{1}{3}4^{n-1}-4$ Pembahasan Rasio barisan geometri tersebut dapat ditentukan dengan membagi suku ke-$n+1$ dengan suku ke-$n$. Sebagai contoh, suku ke-$2$ dibagi suku ke-$1$. $r= \dfrac{\text{U}_{n+1}} {\text{U}_n} = \dfrac{\text{U}_2}{\text{U}_1} = \dfrac{4^2}{4^1} = 4.$ Dari sini, juga didapat $\text{U}_1 = a = 4.$ Dengan menggunakan rumus jumlah suku ke-$n$ barisan geometri, diperoleh $\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{ar^n-1}{r-1} \\ & = \dfrac{44^n-1} {4-1} \\ & = \dfrac{4}{3}4^n-1 \\ & = \dfrac{1}{3}4^{n+1}-4. \end{aligned}$ Jadi, jumlah $n$ suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah $\boxed{\text{S}_n = \dfrac{1}{3}4^{n+1}-4}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 11 Suatu deret geometri mempunyai suku pertama $p^{-2}$ dan suku kedua $p^{2x}$. Jika suku kesepuluh $p^{88}$, maka nilai $x = \cdots \cdot$ A. $\dfrac14$ C. $1$ E. $4$ B. $\dfrac12$ D. $2$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \text{U}_1 & = a = p^{-2} \\ \text{U}_2 & = p^{2x} \\ \text{U}_{10} & = p^{88} \end{aligned}$ Rasio deret geometri itu adalah $r = \dfrac{p^{2x}}{p^{-2}} = p^{2x+2}.$ Karena suku kesepuluh $p^{88}$, maka dengan menggunakan formula suku ke-$n$ barisan geometri, kita peroleh $\begin{aligned} \text{U}_{10} & = p^{88} \\ ar^9 & = p^{88} \\ p^{-2} \cdot p^{18x+18} & = p^{88} \\ p^{18x+16} & = p^{88} \\ 18x+16 & = 88 \\ 18x & = 72 \\ \therefore x & = 4. \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{x=4}$ Jawaban E [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Persamaan Pangkat Eksponen Sederhana Soal Nomor 12 Jumlah $10$ suku pertama dari deret geometri $16-8+4-2+\cdots$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{231}{8}$ D. $\dfrac{341}{32}$ B. $\dfrac{341}{8}$ E. $\dfrac{361}{4}$ C. $\dfrac{341}{16}$ Pembahasan Cara Matematis Diketahui deret geometri $16-8+4-2+\cdots$ Suku pertamanya adalah $a = 16$. Rasio barisan geometri yang bersesuaian dengan deret itu adalah $r =-\dfrac12$. Dengan demikian, jumlah $10$ suku pertamanya dinyatakan oleh $\begin{aligned} \text{S}_{n} & = \dfrac{a1-r^n}{1-r} \\ \text{S}_{10} & = \dfrac{16\left1-\left-\dfrac12\right^{10}\right}{1-\left-\dfrac12\right} \\ & = \dfrac{16\left1-\dfrac{1}{1024}\right}{1+\dfrac12} \\ & = \dfrac{\dfrac{1023}{64}}{\dfrac32} \\ & = \dfrac{\cancelto{341}{1023}}{\cancelto{32}{64}} \times \dfrac{\cancel{2}}{\cancel{3}} = \dfrac{341}{32}. \end{aligned}$ Jadi, jumlah $10$ suku pertama deret geometri tersebut adalah $\boxed{\dfrac{341}{32}}$ Cara Manual Cara manual artinya kita menghitungnya satu per satu seperti yang biasanya dilakukan anak SD. Kelihatannya akan lebih efektif untuk soal ini karena yang ditanyakan hanya sampai $10$ suku pertama. $$\begin{aligned} & 16-8+4-2+1-\dfrac12+\dfrac14-\dfrac18+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{32} \\ & = 11+\dfrac{-16+8-4+2-1}{32} \\ & = \dfrac{352}{32}-\dfrac{11}{32} = \dfrac{341}{32} \end{aligned}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Jika $6, x, y, z, 54$ membentuk barisan geometri, maka nilai dari $\dfrac{xz}{y} = \cdots \cdot$ A. $12$ C. $18$ E. $36$ B. $16$ D. $24$ Pembahasan Suku-suku ganjil pada barisan geometri itu adalah $6, y, 54$. Karena kuadrat dari suku kedua sama dengan hasil kali suku pertama dan ketiga berlaku pada barisan geometri, maka $\begin{aligned} y^2 & = 6 \cdot 54 \\ y^2 & = 6^2 \cdot 3^2 \\ y & = 6 \cdot 3 = 18. \end{aligned}$ Dengan prinsip yang sama, tinjau barisan geometri $6, x, 18$. $\begin{aligned} x^2 & = 6 \cdot 18 \\ x^2 & = 6^2 \cdot 3 \\ x & = 6\sqrt3 \end{aligned}$ Selanjutnya, kita juga akan mendapatkan $z = 18\sqrt3$. Jadi, nilai dari $\begin{aligned} \dfrac{xz}{y} & = \dfrac{6\sqrt3 \cdot \cancel{18}\sqrt3}{\cancel{18}} \\ & = 6\sqrt3^2 = 18. \end{aligned}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 14 Jika $x, y, z$ membentuk barisan geometri dengan suku-suku positif yang berbeda, maka nilai dari $\dfrac{1}{^x \log y}+\dfrac{1}{^z \log y} = \cdots \cdot$ A. $2$ C. $1$ E. $\dfrac12\sqrt2$ B. $\sqrt2$ D. $\dfrac12$ Pembahasan Karena $x, y, z$ membentuk barisan geometri, maka berlaku sifat bahwa kuadrat suku kedua sama dengan hasil kali suku pertama dan ketiga, ditulis $y^2 = xz$. Selanjutnya, dengan menggunakan sifat logaritma, diperoleh $\begin{aligned} \dfrac{1}{^x \log y}+\dfrac{1}{^z \log y} & = \! ^y \log x + \! ^y \log z \\ & = \! ^y \log \color{red}{xz} \\ \text{Substitusi}~y^2 & = xz \\ \dfrac{1}{^x \log y}+\dfrac{1}{^z \log y} & = \! ^y \log y^2 = 2 \end{aligned}$ Jadi, nilai dar $\boxed{\dfrac{1}{^x \log y}+\dfrac{1}{^z \log y} = 2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 15 Berikut ini adalah deret geometri $$\dfrac34+\dfrac32+3+6+\cdots+P = \dfrac{765}{4}$$Nilai $P$ yang sesuai dengan deret di atas adalah $\cdots \cdot$ A. $86$ C. $92$ E. $102$ B. $90$ D. $96$ Pembahasan Deret geometri tersebut memiliki suku pertama $a = \dfrac34$ dan rasio $r = 2$. Berdasarkan formula deret geometri, kita peroleh bahwa $\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{ar^n-1}{r-1} \\ \dfrac{765}{4} & = \dfrac{\dfrac34\left2^n-1\right}{2-1} \\ \dfrac{765}{\cancel{4}} \cdot \dfrac{\cancel{4}}{3} & = 2^n-1 \\ 255 & = 2^n-1 \\ 256 & = 2^n \\ n & = 8. \end{aligned}$ Selanjutnya, akan dicari $\text{U}_8 = P$ dengan menggunakan formula barisan geometri $\text{U}_n = ar^{n-1}$. $P = \text{U}_8 = \dfrac342^{8-1} = \dfrac{3}{4}2^7 = 96 $ Jadi, nilai dari $\boxed{P = 96}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 16 Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu adalah $26$ dan hasil kalinya $216$. Jumlah bilangan pertama dan ketiga dari barisan geometri itu adalah $\cdots \cdot$ A. $2$ C. $18$ E. $22$ B. $16$ D. $20$ Pembahasan Misal ketiga bilangan itu membentuk barisan geometri dalam bentuk $\dfrac{a}{r}, a, ar$. Hasil kalinya $\begin{aligned} \dfrac{a}{\cancel{r}} \times a \times a\cancel{r} & = 216 \\ a^3 & = 6^3 \\ a & = 6 \end{aligned}$ Sekarang, barisan geometrinya dapat ditulis dalam bentuk $\dfrac{6}{r}, 6, 6r$. Jumlah $\begin{aligned} \dfrac{6}{r}+6+6r & = 26 \\ \dfrac{6}{r}+6r & = 20 \\ 6\left\dfrac{1}{r}+r\right & = 20 \\ \dfrac{1}{r}+r & = \dfrac{20}{6} = \dfrac{10}{3} \\ r + \dfrac{1}{r} & = 3 + \dfrac{1}{3} \end{aligned}$ Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $r = 3$ atau $r = \dfrac13$. Penentuan barisan geometri Untuk $a = 6$ dan $r = 3$, maka barisan geometrinya $2, 6, 18$. Untuk $a = 6$ dan $r = \dfrac13$, maka barisan geometrinya $18, 6, 2$. Jumlah bilangan pertama dan ketiganya sama meskipun ditukar posisinya, yaitu $\boxed{2 + 18 = 18 + 2 = 20}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 17 Suatu barisan geometri memiliki suku yang semuanya positif. Jika $\dfrac{\text{U}_4 + \text{U}_3}{\text{U}_2+\text{U}_1} = 9$, maka nilai dari $\dfrac{\text{U}_2 + \text{U}_3}{\text{U}_1+\text{U}_2+\text{U}_3 + \text{U}_4} = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{3}{10}$ C. $\dfrac{9}{10}$ E. $\dfrac{1}{10}$ B. $\dfrac13$ D. $\dfrac14$ Pembahasan Barisan geometri memiliki rumus suku ke-$n$ sebagai berikut. $\boxed{\text{U}_n = ar^{n-1}}$ dengan $a$ sebagai suku pertama dan $r$ sebagai rasio. Dengan demikian, $\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_4 + \text{U}_3}{\text{U}_2+\text{U}_1} & = 9 \\ \dfrac{ar^3 + ar^2}{ar + a} \\ \dfrac{\cancel{a}r^3+r^2}{\cancel{a}r + 1} & = 9 \\ \dfrac{r^3+r^2}{r+1} & = 9 \\ \dfrac{r^2\cancel{r+1}}{\cancel{r+1}} & = 9 \\ r^2 & = 9 \\ r & = \pm 3. \end{aligned}$ Karena suku barisannya positif, maka kita ambil $r = 3$. Selanjutnya, $$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_2 + \text{U}_3}{\text{U}_1+\text{U}_2+\text{U}_3 + \text{U}_4} & = \dfrac{ar + ar^2}{a + ar + ar^2 + ar^3} \\ & = \dfrac{\cancel{a}r+r^2}{\cancel{a}1+r+r^2+r^3} \\ & = \dfrac{r+r^2}{1+r+r^2+r^3} \\ & = \dfrac{3 + 3^2}{1+3+3^2+3^3} \\ & = \dfrac{12}{40} = \dfrac{3}{10}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{\text{U}_2 + \text{U}_3}{\text{U}_1+\text{U}_2+\text{U}_3 + \text{U}_4} = \dfrac{3}{10}}$ Jawaban A [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Agar bilangan $2^0+2^1+2^2+\cdots+2^n$ sedekat mungkin ke $ maka tentukan nilai $n$. Pembahasan $2^0+2^1+2^2+\cdots+2^n$ merupakan deret geometri dengan suku pertama $a = 2^0 = 1$ dan rasio $r = 2$, serta banyak sukunya $n+1,$ sehingga jumlahnya sama dengan $\begin{aligned} \text{S}_{n+1} & = \dfrac{ar^{n+1}-1}{r-1} \\ & = \dfrac{12^{n+1}-1}{2-1} \\ & = 2^{n+1}-1. \end{aligned}$ Jadi, kita tulis $2^{n+1}-1 \to atau $2^{n+1} \to 2^{11} = sehingga nilai $\boxed{n=10}$ [collapse] Soal Nomor 2 Perhatikan pola gambar berikut. Apabila panjang sisi persegi pada pola pertama $x$ satuan, tentukan luas daerah yang diarsir pada pola ke-$1000$. Pembahasan Pada gambar 1, luas persegi tersebut adalah $L_1 = x^2$ satuan panjang. Panjang sisi persegi pada gambar 2 dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu $\begin{aligned} s & = \sqrt{\left\dfrac12x\right^2 + \left\dfrac12x\right^2} \\ & = \sqrt{\dfrac12x^2} \\ & = x\sqrt{\dfrac12}. \end{aligned}$ Luas persegi pada gambar 2 adalah $L_2 = \leftx\sqrt{\dfrac12}\right^2 = \dfrac12x^2$ yang merupakan setengah dari luas persegi pada gambar 1. Analog dengan ini, kita peroleh bahwa luas tiap persegi membentuk barisan geometri dengan $a = x^2$ dan $r = \dfrac{1}{2}$ sehingga $\begin{aligned} & U_{n} = ar^{n-1} \\ & U_{1000} = x^2\left\dfrac{1}{2}\right^{1000-1} = x^2\left\dfrac{1}{2}\right^{999}. \end{aligned}$ Jadi, luas yang diarsir pada pola ke-$1000$ adalah $x^2\left\dfrac{1}{2}\right^{999}$ satuan luas. [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Versi HOTS/Olimpiade